Arkussinus und Arkuskosinus
Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen. Die Schreibweisen cos − 1 und sin − 1, die immer noch auf einigen Taschenrechnern verwendet werden, sollten vermieden werden, um Verwechslungen mit dem Sekans bzw. Kosekans zu vermeiden.
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Definitionen
Die Sinusfunktion ist 2π-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit
Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos | [0,π]. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion
die sich mittels ineinander umrechnen lassen.
Eigenschaften
| Arkussinus | Arkuskosinus | |
|---|---|---|
| Funktions- Graphen | ||
| Definitionsbereich | ||
| Wertebereich | ||
| Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton fallend |
| Symmetrien | Ungerade Funktion: | Punktsymmetrie zu |
| Asymptoten | für | für |
| Nullstellen | ||
| Sprungstellen | keine | keine |
| Polstellen | keine | keine |
| Extrema | keine | keine |
| Wendepunkte |
Formeln für negative Argumente
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
Reihenentwicklungen
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:
Der Ausdruck k!! bezeichnet dabei die Doppelfakultät.
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung :
Verkettungen mit Sinus und Kosinus
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
- , denn für gilt und .
- , denn für gilt und .
- , denn für gilt und .
- , denn für gilt und .
Ableitungen
- Arkussinus
Spezialfall für a = 1 und b = 0:
Allgemein:
- Arkuskosinus
Spezialfall für a = 1 und b = 0:
Allgemein:
- Umrechnung
Integrale
- Arkussinus
- Arkuskosinus
Komplexe Argumente
- mit
Wobei für die Signumfunktion gilt
Anmerkungen
Besondere Werte
| x | − 1 | 0 | 1 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| arcsin(x) | 0 |
| x | − 1 | 0 | 1 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| arccos(x) | π | 0 |
Kettenbruchdarstellung des Arkussinus
H. S. Wall fand 1948 folgende Kettenbruchdarstellung für den Arkussinus:
Sonstiges
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
Siehe auch
Literatur
- Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8
Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans
Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans
Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus